MEDTEC Schoolサンプル問題の数学の日本語解説【イタリア医学部入試対策】

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本記事の信頼性

本記事は、MEDTEC School のNon-EU枠に上位合格した現役のイタリア国立医学生が、複数の医学生ともに日本語の解説を作成しました。

MEDTEC Schoolは、イタリア私立医学部のヒューマニタス大学（Humanitas University）とミラノ工科大学（Polytechnic University of Milan）のダブルディグリーを取得できるコースです。

本来なら過去問を利用して入試対策をすべきですが、MEDTEC Schoolでは過去問を公開していません。

代わりに公式のサンプル問題（Admission Test Sample Questions）を公開しているので、これを利用して、入試対策を行うのが良いでしょう。

MEDTEC Schoolのサンプル問題と答えの入手方法は、こちらの記事で解説しています。

MEDTEC Schoolの入試問題は数学に重点が置かれており、数学が合否を分けると言っても過言ではありません。

しかし、公式のサンプル問題は解答のみで、肝心の解説が書かれておらず、自分で学習するとなると時間がかかってしまいます。

サンプル問題を初めて解いたとき、丸1日かけて数学の解説を作っていた記憶があります。

サンプル問題に解説はないので、本記事の日本語解説を利用して、効率よく対策するのがオススメです。

本記事では、サンプル問題（数学）の日本語解説だけではなく、サンプル問題の傾向も分析しています。サンプル問題を使い倒して、入試対策に役立てましょう。

それでは早速、サンプル問題の解説を始めます。

サンプル問題（数学）の傾向を分析する

MEDTEC Schoolのサンプル問題の数学の傾向を日本で習う範囲に沿って、分析していきます。

数学の問題は20問出題され、配点が最も高くなっています。

あくまでサンプル問題なので、実際の入試と同じような範囲が出題されるとは限りませんが、大学が公式に発表しているサンプル問題を使わない手はありません。

数学の出題範囲を下表にまとめました。

教育の専門家ではないので、ざっくりとした出題分野を記載しています。

問題番号	科目（数I, II, III, A, B）	出題分野
問1	数A	素因数分解
問2	数II	指数法則
問3	数A	確率
問4	数I	実数
問5	数II	剰余の定理
問6	数II	3次不等式
問7	数II	対数
問8	数II	指数関数
問9	数II	根号の関数
問10	数A	立体図形
問11	数I	1次関数の対称移動
問12	数A	図形の性質
問13	数II	円の式
問14	数I	命題（真偽）
問15	数I	命題
問16	数A	整数
問17	数I	平均値の計算
問18	数I	データの分析
問19	数A	確率
問20	数A	確率

サンプル問題の主な出題範囲は、日本の学習指導要領でいう数I, A, II となっています。

私が受験した際も、数Bや数IIIの問題は出題されていませんでした。確かなことは言えませんが、入試対策をする上では、数I, A, II を重点的に対策するのが良いでしょう。

詳しくは、別記事で解説します。

サンプル問題（数学）の日本語解説

数学の問題は複数の解き方がありますが、本解説では再現性が高く、応用が効きやすい解き方を採用しております。

別解が複数ある問題もありますので、本記事に載っていない解法で解いても問題ありません。

それでは早速、MEDTEC Schoolのサンプル問題（数学）の日本語解説を始めます。

サンプル問題の入手方法については、下記の記事で解説しています。無料で簡単に入手できますので、まだお持ちでない方は今すぐ入手しましょう。

[pp-restrict-content plans="2, 5"]

問1 - 日本語解説

1000を素因数分解すると、\(1000=2^3 \times 5^3\)

\(2 = 2^1\), \(4=2^2\), \(16=2^4\), \(25=5^2\), \(125=5^3\) となるので、2, 4, 125の積が1000 となる。

よって、3つの数の和は \(2 + 4 + 125=131\)となり、選択肢(A)が答えとなる。

問2 - 日本語解説

問題文を数式に表すと、\[{\sqrt{\biggl (2^{14} \times \displaystyle \left (\frac{1}{4} \right)}\bigr)=\sqrt{(2^{14} \times 2^{-2})}=\sqrt{2^{12}}=2^6}\]

よって、選択肢(A)が答えとなる。

問3 - 日本語解説

バスケットに20本連続してシュートを打ったとき、ボブの成功率は55％だったという、条件より20本中11本のシュートが成功したことが分かる。

全部で25本シュートを打ったとき、成功率は52%に下がったので、シュートは25本中13本打ったことになる。

よって、追加で2本のシュートが成功したので、選択肢(A)が答えとなる。

問4 - 日本語解説

a, b, c, d は a ≦ b、c ≦ dとなるような実数である。

選択肢(A)：\(c^2 ≧ 0\)となるので、常に\(\displaystyle ac^2 ≦ bc^2\)が成り立つので、正しい。

選択肢(B)：a と b がともに正で、c が負で、d が正の場合、成り立たないので、誤り。

選択肢(C)：a と b がともに正で、cが負で、d が正の場合、誤り。

選択肢(D)：例えば、\(a=-10, b=1, c=-5, d=2\)の場合、成り立たないので、誤り。

選択肢(E)：例えば、\(a=-10, b=1, c=-5, d=2\)の場合、成り立たないので、誤り。

よって、選択肢(A)が答えとなる。

問5 - 日本語解説

剰余の定理に関する問題。

整式を \(P(x) = 4x^2 + 3x - 1\)とおくと、割る式は\(x - 3\)とおくと、\[4x^2+3x-1=P(x)(x-3)+A\]

\(x = 3\)を代入すると、\(P(3)=4 \times 3^2 + 3 \times 3 -1 = 44\)

これが余りとなるので、選択肢(A)が答えとなる。

問6 - 日本語解説

\(x^3 − 3x^2 > 3 − x\) となり、\(x^3 - 3x^2 + x -3 > 0\)

これを解くと、\((x-3)(x^2+1) > 0\)

\(x^2+1 >0\) となるので、\(x>3\) が答えとなる。

よって、\(x>3\) は \((3, +∞)\) と表せるので、選択肢(A)が答えとなる。

問7 - 日本語解説

a, b, c の大小を比較する。

\(a=\sqrt{5}\) の大きさは、

\[(2.2)^2 (=4.84) < a < (2.3)^2(=5.29)\]

\[c=log_{10}400=log_{10}100 + log_{10}4 =log_{10}10^2+log_{10} 2^2=2log_{10}10+2log_{10}2=2+2log_{10}\]

\(log_{10}2=0.3\)となるので、\(c=2+ 2\times 0.3=2.6\)

よって、大小を比較すると、a < b < c となり、選択肢(A)が答えとなる。

問8 - 日本語解説

\(y=10^x\) と\(y=x^3-x\) をグラフを表すと、次のようになる。

よって、交点は2つになるので、選択肢(A)が答えとなる。

問9 - 日本語解説

根号の中は0以上となるので、\(x(x+3)(x-2)≧0\)

よって、\(-3 ≤ x ≤ 0 または x ≥ 2\)となるので、選択肢(A)が答えとなる。

ちなみに、\(f(x) = x(x+3)(x-2)\) は次のようなグラフになる。

問10 - 日本語解説

1つ目の立方体の体積を \(V_1\)とおくと、

\[V_1=L^3 - (\frac{L}{3})^3=\frac{26L^3}{27L^3}\]

2つ目の立方体の体積を \(V_2\)とおくと、\(V_2=L^3\)

立方体の体積と重量の比は等しい（立方体の密度はどの場所も等しい）ので、1つ目の立方体の重量と2つ目の立方体の立方体の重量比は、\(V_1 : V_2 = (\frac{26L^3}{27L^3}) : (L^3)=26:27\)

よって、選択肢(A)が答えとなる。

問11 - 日本語解説

直線\(y=4\)に関して、\(y=-3x+7\) に対称な直線でとなる方程式について考える。

\(-3x+7=4 ↔︎ x=1\)となり、(1, 4)を通り、\(y=4\) に線対称となる直線の傾きは +3 となる。

よって、(1, 4)を通ることを考慮して、\(y=3(x-1)+4\) となり、\(y=3x+1\) が答えとなる。

したがって、答えは選択肢(A)となる。

問12 - 日本語解説

図に問題文の条件を書き込むと次のようになる。

△PQTは2等辺三角形なので、\(PQ = QT\) となる。

\(\displaystyle cos60° = \frac{1}{2}\) となるので、\(QT=2QB\)

問題文より、\(PB=p, PQ=q\) と表されているので、\(PQ=2QB\)より、\(p=3QB, q=2QB\)と表せる。

よって、\(\displaystyle \frac{q}{p}=\frac{2QB}{3QB}=\frac{2}{3}\)

したがって、選択肢(A)が答えとなる。

問13 - 日本語解説

半径を r とおくと、中心は点(3, 5)となるので、\[円：(x-3)^2+(y-5)^2 = r^2\]

これが点(-1, 2)を通るので、\((-1-3)^2+(2-5)^2=r^2\) となり、

\[16+9=r^2 ↔︎ r=5 (∵ r > 0)\]

よって、円の式は、\((x-3)^2 + (y-5)^2 = 5^2 ↔︎ x^2+y^2-6x-10y+9=0\)

したがって、選択肢(A)が答えとなる。

問14 - 日本語解説

「私のクラスの生徒は全員少なくとも3つの異なる言語を話す」が偽となるとき、すなわち、「少なくとも1人は2ヶ国語以下を話す」は真である。

選択肢(A)：これは真である。

選択肢(B)：これは偽となる。反例：全員が2ヶ国語以下を話すとき。

選択肢(C)：これは偽となる。反例：全員が1ヶ国語のみ話すとき。

選択肢(D)：「私のクラスの生徒は全員少なくとも3つの異なる言語を話す」が偽となるので、これも偽となる。

選択肢(E)：これは偽となる。反例：少なくとも一人の生徒が3言語を話すとき。

よって、選択肢(A)が答えとなる。

問15- 日本語解説

リアムはいつも嘘をつき、トムはいつも本当のことを言う。 これをもとに各選択肢を分析する。

選択肢(A)：
・リアムは常に嘘をついているので、真実とは逆の「私は本当のことを言っている（I am telling the truth.）」と発言する。
・トムはいつも本当のことを言っているので、「私は本当のことを言っている（I am telling the truth.）」と発言する。

選択肢(B)：
・リアムは常に嘘をついているので、真実とは逆の「あなたは嘘を言っている」と発言するはずである。
・トムはいつも本当のことを言っているので、「あなたは嘘を言っている」と発言するはずである。

選択肢(C)：
・リアムは常に嘘をついているので、真実とは逆の「あなたは嘘を言っている（私は本当のことを言っている）」と発言するはずである。
・トムはいつも本当のことを言っているので、「あなたは嘘を言っている（私は本当のことを言っている）」と発言するはずである。

選択肢(D)：
・リアムは常に嘘をついているので、真実とは逆の「私はいつも本当のことを言っている」と発言するはずである。
・トムはいつも本当のことを言っているので、「私はいつも本当のことを言っている」と発言するはずである。

選択肢(E)：
・リアムは常に嘘をついているので、真実とは逆の「今日は雨が降っていない」と発言するはずである。
・トムはいつも本当のことを言っているので、「今日は雨が降っている」と発言するはずである。

よって、選択肢(A)が答えとなる。

問16 - 日本語解説

アン、ボブ、イーディス、サムの誕生日は、3月20日、4月23日、4月24日、5月24日のいずれかとなる。

トムは「自分はイーディスと同じ月に生まれたが、イーディスの9日後に生まれた」と言っているので、イーディスの誕生日は3月20日となる。

アンとイーディスは同じ曜日に誕生日を祝うということは、彼らの誕生日までの期間は 7n （n：整数） と表せる。

イーディスの誕生日は3月20日であることを考慮して、イーディスの誕生日とアンの誕生日の期間を計算すると、

よって、アンの誕生日は4月24日となるから、選択肢(A)が答え。

問17 - 日本語解説

平均値を計算する問題。

\[\displaystyle \frac{0 × 2 + 1 × 7 + 2 × 6 + 3 × 3 + 4 × 4 + 5 × 2 + 7 × 1}{25} = \frac{61}{25}=2.44 \]

よって、選択肢(A)が答えとなる。

問18 - 日本語解説

まず、表の情報をパーセント表示から人数に変える。

Pressure	≦115	>115  and  ≦120	>120  and  ≦129	>129
Female  (人)	20	40	80	20
Male (人)	15	39	78	18

選択肢(A)：収縮期血圧（systolic blood pressure）が115mmHg以下となるのは、男性が15人、女性が20人となるので、収縮期血圧（systolic blood pressure）が115mmHg以下となる男性は75%の女性と言える。よって、これが正しい。

選択肢(B)：64％の男性が120mmHg以上の収縮期血圧（systolic blood pressure）であるため、これは誤りと言える。

選択肢(C)：64％の男性が120mmHg以上の収縮期血圧（systolic blood pressure）であるため、これは誤りと言える。

選択肢(D)：64％の男性が120mmHg以上の収縮期血圧（systolic blood pressure）であり、62.5％の女性が120mmHg以上の収縮期血圧（systolic blood pressure）である。よって、誤り。

選択肢(E)：120mmHgより大きく、129mmHg以下の収縮期血圧（systolic blood pressure）である女性は80人、男性は78人であるが、全員が129 mmHgであるとは限らない。

以上より、選択肢(A)が答えとなる。

問19 - 日本語解説

男子は4人、女子は8人いるので、ここから2人を選ぶと、\[_{(4+8)}C_2 = _{12}C_2=66 通り\]

FF（女子2人）を選ぶ確率は、女子2人を選ぶ組み合わせが \(_8C_2= 28\) なので、

\[\displaystyle \frac{_8C_2}{_{12}C_2}=\frac{28}{66}=\frac{14}{33}\]

FF（女子1人+男子1人）を選ぶ確率は、女子1人と男子1人を選ぶ組み合わせが \(_8C_1 \times _4C_1= 32\) なので、

\[\displaystyle \frac{_8C_1 \times 4C_1}{{12}C_2}=\frac{32}{66}=\frac{16}{33}\]

MM（男子2人）を選ぶ確率は、男子2人を選ぶ組み合わせが \(_4C_2= 6\) なので、

\[\frac{_4C_2}{_{12}C_2}=\frac{6}{66}=\frac{1}{11}\]

以上より、選択肢(A)が答えとなる。

問20 - 日本語解説

問題文より、それぞれのサイコロの目の確率は、

このサイコロを2つ投げた時にどちらも奇数となるのは、1か3の目が両方のサイコロに出たとき。

1か3のどちらかの目が出る確率は、\(\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{6}= \frac{2}{3}\)

よって、サイコロを2つ投げたときどちらも奇数となるのは、

\[\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}\]

したがって、選択肢(A)が答えとなる。

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